rej55's note

数学とか工学とかの話 勉強したことのメモなど

関数解析学

正規直交系

ヒルベルト空間\( H\)でもユークリッド空間と同じように\( <x, y> = 0 \)となるようなベクトル\(x, y\)は直交するといい, \(x \perp y\)と表す. 0でないベクトルの集合\( \{\phi_j \} \)が, \begin{align*} j \neq k \Rightarrow <\phi_j, \phi_k> = 0 \end{align*</x,>…

ヒルベルト空間

ある集合\(H\)が複素ベクトル空間を作り, 任意の\(x, y, z\in H \)に次の性質を満たす内積\(<x, y>\)が定義されているものとする. \begin{align*} <x, x>\geq 0, <x, x> = 0 \Leftrightarrow x=0 \end{align*} \begin{align*} <x, y> = \overline{<y, x>} \end{align*} \begin{align*} <\al</y,></x,></x,></x,></x,>…

線形作用素

((X, Y \)をノルム空間とすると, \(X, Y \)はベクトル空間であるから, 写像\(T : X\to Y\)は, \begin{align*} T(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2) = \alpha_1 Tx_1 + \alpha_2 Tx_2, \ \ \ (x_1, x_2 \in X) \end{align*} となる. ただし, \(\alpha_1, \alpha_2…

縮小写像の原理

ノルム空間\( X \)の部分集合\( X_1, X_2 \)について, 写像\(F: X_1 \to X_2 \)が, 任意の\( x, y \in X_1 \)に対し, \begin{align*} ||F(x) - F(y)|| \leq k||x-y||, \ \ \ (0\leq k <1) \end{align*} を満たすとき, 写像\( F \)は縮小写像であるという. ま…

バナッハ空間

大学の1年生の解析学で学ぶような実数の収束性は, 距離の概念を通して定義するように学んできた. より一般に収束を考える場合, ベクトル空間の各要素にノルムが定義されている必要がある. ベクトル空間\(X\)の各要素\(x, y\)に, 以下の3つの性質を満たすよう…